IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

L'article est le compte rendu d'un stage IREM de 6 heures sur la naissance, la profonde transformation et la disparition d'une méthode de calcul des aires et des volumes qui a vu le jour au XVIIe siècle. La méthode, stricto sensu (indivisibles hétérogènes dont les relations se reflètent dans les grandeurs où ils ont été découpés par une unique règle), a été systématisée par Cavalieri. Exemple étonnant de certitude par l'évidence, elle emporte l'adhésion tout en court-circuitant la rigueur. Dès qu'elle n'est plus stricto sensu, des paradoxes se font jour, que Cavalieri lève par des adaptations ad-hoc. Torricelli, en voulant à la fois la rendre plus accessible et la débarrasser des paradoxes, la modifie complètement, ses indivisibles ne sont plus des vraies lignes, mais des lignes épaisses (trapèzes d'épaisseur infinitésimale). Les indivisibles de Pascal, dans le Traité de la roulette, semblent torricelliens, mais à y regarder de près leur nouveauté est de faire jouer au côté oblique du trapèze un rôle essentiel, c'est lui qui devient le moyen de calculs jamais effectués auparavant. Avec le Traité de la roulette de Pascal l'apothéose de la méthode a eu lieu, la méthode des indivisibles, d'essence géométrique, disparaît pour laisser la place au Nouveau Calcul, analytique, de Leibniz et Newton. Elle aura vécu 50 ans. Comme la géométrie est propice à la représentation mentale, elle a un grand pouvoir de mettre l'imagination à contribution : l'égalité des lignes spirale et parabolique par les gros points de Torricelli, la quadrature de la spirale par dépliement d'indivisibles courbes de Cavalieri, la quadrature de la cycloïde par Roberval, les formules générales du Traité des trilignes de Pascal nous remplissent encore d'admiration.