IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

De réduction de programme en réduction de programme, le chapitre "équations différentielles" de Terminale scientifique a été ramené à sa plus simple expression. En fait, le chapitre a disparu en tant que tel et les deux équations différentielles qui restent au programme (de l'année scolaire 2000-2001, où l'article a été rédigé) sont mentionnées dans le chapitre "fonctions usuelles" ! Comme chacun sait, l'équation y'=ay est un aspect de la fonction exponentielle et y''+w^2y=0 un reflet des fonctions circulaires ! Les livres scolaires ont emboîté le pas à cette joyeuse rigolade. Fractale (Bordas) par exemple sort du chapeau l'équation différentielle y''+w^2y=0 dans le paragraphe "dérivées successives". L'élève de Terminale a droit à une phrase unique et définitive : Résoudre sur R l'équation différentielle y''+w^2y=0, c'est déterminer toutes les fonctions f, deux fois dérivables sur R telles que, pour tout nombre x de R : f''(x)+ w^2f(x)=0. Aucune explication sur la raison d'être du problème : pourquoi traite-t-on une telle question ? D'où provient le problème ? A quoi sert cette résolution ? Pas un mot sur la radicale nouveauté qui consiste à prendre une fonction comme inconnue d'une équation. Fractale considère l'équation différentielle y'=ay en fin du chapitre consacré à l'exponentielle, après sa dérivée et ses primitives. Il ne manque pas d'humour : "Dans le chapitre 2, vous avez étudié l'équation différentielle y''+w^2y=0" ! On est à la page 122, le chapitre 2 se trouve page 35. L'élève de Terminale S n'est pas vraiment frappé par l'unité de la question, éclatée en deux parties fort éloignées dans le livre, sans aucune justification et sans la moindre tentative de montrer l'intérêt, la nouveauté et la profondeur de la démarche. Pas vraiment contrariant et surtout préoccupé de réussite, l'élève de Terminale S conclut qu'il n'y a rien à comprendre et qu'il suffit (une fois encore) d'apprendre les solutions pour les "recracher" à l'examen. Il baille, mais il sait faire ! Et pourtant, il n'est pas bien difficile de donner à cette courte partie du programme l'éclairage qui lui donne sens et intérêt. Si l'on renonce au sens des choses, elles finissent par nous échapper. Toutes sortes de "techniciens" prétendent alors les prendre en charge. Le programme projeté invite au sursaut : il propose de traiter des exemples (même s'il ajoute bizarrement "qualitativement"); il suggère de s'appuyer sur le champ des tangentes tracées par ordinateur. Nous y ajoutons la méthode d'Euler, sans laquelle les tracés précédents sont incompréhensibles. On peut ainsi donner du sens à ce chapitre fort important. Cela prend, hélas du temps, ce temps d'année en année plus chichement mesuré. La réduction des horaires de Terminale, si elle est confirmée, conduira à sacrifier, une fois de plus, le sens au profit de techniques facilement évaluables. Et anéantira les bonnes intentions annoncées. Comme c'est le cas dans les programmes actuels.