IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

Cet article relate une expérience faite en Travaux Personnels de DEUG, sur six séances d'une heure et demie, où les étudiants travaillent sur un sujet choisi par l'enseignant, mais avec le moins possible d'intervention de ce dernier. Il s'agissait de pratiquer de la géométrie sphérique en en créant la théorie à mesure que l'on avançait. Que peut-on appeler triangle sur la sphère ? et carré ? (d'où la question qu'est-ce qu'une droite ?) et cercle ? Que reste-t-il de ce que l'on connaît en géométrie euclidienne habituelle? En particulier y a -t-il des parallèles ? Un nombre pi ? La formule reliant la somme des angles d'un triangle à son aire a donné lieu à des recherches fructueuses. Après la sphère matérialisée par l'orange ou la mappemonde, ils sont passées à la banane, pour rencontrer des courbures négatives, et non constantes. Là, moins de théorie, car l'objet mathématique sous jacent est plus différentiel. Un des buts était de faire de la théorie à partir de la pratique, de montrer que les définitions ne sont pas un absolu, mais qu 'elles sont créées par les hommes pour dire quelque chose. Par exemple la définition d'un carré sur un sphère ne peut pas être celle habituelle du carré dans un plan.