IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

Les algorithmes de résolution des équations du second degré sont identifiables sur les tablettes mathématiques, dès la haute époque babylonienne. Si on trouve chez Bombelli (Algebra, Bologna, 1572) une explication algébrique du procédé, il semble que les démonstrations de validité antérieures soient de type géométrique. Celles d'Al-Khwarizmi (780-850) sont un accompagnement visuel des calculs ; celles d'Al-Khayyam (1048-1139), qui font référence aux Eléments d'Euclide, sont plus élaborées. A la Renaissance, au moment où émerge l'algèbre symbolique, Gosselin (De arte magna..., Paris, 1577), Stifel (Arithmetica Integra, Nüremberg, 1544) ou Stevin (Arithmetique, Leyde, 1585) usent encore d'arguments géométriques pour justifier leurs calculs mais selon les cas, les Eléments d'Euclide, toujours incontournables, opèrent comme frein ou comme moteur. Il apparaît aussi qu'une même figure peut traverser les époques et supporter des lectures différentes. Abordant la question du rôle de la géométrisation dans le développement des mathématiques, nous posons aussi celle, plus modeste mais urgente et difficile, de l'apprentissage pour nos élèves. Géométriser, visualiser pour démontrer, amener à comprendre une situation en la transformant en une autre mieux connue ou plus accessible, c'est proposer un regard nouveau qui, bien qu'il n'ait rien de spontané, constitue sans doute un enjeu majeur dans la construction du simple.