IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

A partir de son expérience pédagogique dans le domaine de l'analyse non standard, l'auteur se propose de montrer l'intérêt présenté par ce nouveau savoir que constitue l'analyse non standard. Le concept de "limite" nous semble être une illusion. On peut en effet y reconnaître trois concepts différents liés à trois domaines mathématiques distincts : le domaine des nombres avec la notion d'ordre de grandeurs, celui des fonctions avec la notion classique de la limite de fonctions, celui des objets géométriques avec la notion non-standard d'ombre. La mathématique classique ne sait modéliser que des situations fonctionnelles à une variable ; et elle y fait apparaître de gênants "paradoxes" (exemples dans l'article). La mathématique non-standard est souvent un bon modèle ; mais son introduction dans l'enseignement secondaire paraît impossible (arguments dans l'article). Mais, s'il n'est donc pas possible d'enseigner aujourd'hui correctement l'analyse aux élèves (mais cela ne les empêchent pas d'apprendre), il est sûrement fondamental de bien former les enseignants, en particulier à l'analyse non-standard.