IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

Dans le livre CCV consacré à la géométrie élémentaire, paru en octobre 1998, de son célèbre traité Eléments de mathématiques, Nicolas Bourbaki démontre, en respectant scrupuleusement les connaissances d'un élève de sixième "cru 1990", les "cas d'égalité des triangles" ; la démonstration, parfois délicate à suivre est donné en extrait: aucun mouvement, aucun découpage, aucune superposition, bref aucun recours à une intuition malsaine... Pourquoi ne pas procéder ainsi dans les programmes de collège. On éviterait ces constructions hasardeuses, qui ont cours aujourd'hui, où le cosinus qu'on utilise pour démontrer Thalès, est défini sans que l'égalité (la superposition) des angles ait pu l'être, parce qu'on s'interdit le recours à "l'intuition malsaine" du mouvement, condamnant ainsi l'élève à une espèce de schizophrénie : ces objets sont égaux car superposable, je le sais mais je n'ai pas le droit de le dire... Pourtant, c'est bien ainsi que les mathématiques se construisent : les concepts naïfs de départ permettent d'en construire d'autres plus élaborés, qu'on finira par choisir, dans un exposé formel, comme fondement, les concepts de départ devenant des concepts dérivés, non sans avoir subi le plus souvent quelque mutation (le mouvement cinématique devient une transformation appelée non sans ironie "déplacement" par exemple).