IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

Cet article est la traduction française, par Henri Lombardi et Stefan Neuwirth, de l'article "Did Euclid need the Euclidean algorithm to prove unique factorization?" écrit par David Pengelley et Fred Richman. Il s'agit d'un article paru à l'origine dans l'American Mathematical Monthly n°113 en 2006, pages 196-205. Le théorème fondamental de l'arithmétique affirme que tout entier naturel est, de manière unique, un produit de nombres premiers.Cette unicité est "démontrée" dans le Livre VII d'Euclide. La démonstration se trouve immédiatement après le fameux algorithme d'Euclide et le porisme qui s'en déduit : tout diviseur commun à deux nombres divise leur PGCD. Mais Euclide n'utilise pas ce porisme dans la démonstration. Les auteurs recherchent s'il est possible qu'Euclide se soit trompé, et que sa preuve soit fautive. Le plus surprenant sans doute est que la démonstration ait traversé plus de 20 siècles sans jamais avoir été vraiment remise en cause par les commentateurs.