IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

La prise de décision relativement à une proportion a été introduite au lycée dès la Seconde par les programmes de 2009. Il s'agit d'établir une règle de décision permettant, à partir de l'observation d'un échantillon de taille n, de décider entre deux hypothèses H0 et H1 laquelle doit être retenue. Cette règle de décision fait appel à la notion d'intervalle de fluctuation. Une première formulation pour ce type d'intervalle est donnée en Seconde pour des conditions de validité (conditions dites "des grandes binomiales") portant sur la proportion p et la taille n de l'échantillon observé à partir duquel est prise la décision. Cette démarche est ensuite reprise en classe de Première et en classe de Terminale en introduisant d'autres constructions d'intervalles de fluctuation. Ainsi, bien que le raisonnement à la base de la décision soit inchangé, les intervalles de fluctuation susceptibles d'être mis en œuvre, et les conditions de leur validité, diffèrent d'une classe à l'autre. Ces différentes définitions sont souvent source d'interrogation de la part des enseignants peu habitués à la problématique statistique qui, face à une situation donnée, se demandent quel intervalle de fluctuation utiliser et surtout sur quels critères objectifs le choix doit être fait : pourquoi choisir l'un au détriment d'un autre lorsque les conditions de validité s'y prêtent ? Pour apporter des éléments de réponse à cette question, il est nécessaire que l'enseignant ait suffisamment de recul par rapport à la prise de décision, et qu'il connaisse les notions de risques de première et de seconde espèces qui, bien que hors programmes des lycées, sont fondamentales dans la discussion de l'efficacité de la prise de décision. Cet article se propose de préciser ces notions à partir d'un exemple. Le propos vise à faire comprendre comment ces notions de risques interviennent, et pourquoi elles sont indispensables, pour bien cerner la problématique de la démarche de prise de décision vue au lycée. L'enseignant aura ainsi un cadre mathématique précis qui lui permettra de mieux maîtriser l'implicite de certaines questions des élèves sur cette problématique et de mieux adapter sa réponse à leur niveau. Ces notions de risques de première et de seconde espèces sont illustrées ici en prenant appui sur l'expérience que Buffon relate dans son "Essai d'arithmétique morale" (1777) : Buffon fait lancer à un enfant 4040 fois une pièce de monnaie. Il obtient 2048 fois "pile". La question est de savoir si la pièce utilisée est équilibrée, c'est-à-dire de décider si la probabilité d'obtenir "pile" avec cette pièce est égale à 0,5 (hypothèse H0), ou si elle est déséquilibrée (hypothèse H1). La prise de décision fait appel à des intervalles de fluctuation différents en fonction des conditions expérimentales de l'échantillonnage : en Seconde et en Terminale, l'intervalle de fluctuation utilisé suppose que n et p vérifient la condition des grandes binomiales, alors qu'en Première, l'intervalle de fluctuation est construit pour toutes valeurs de n et de p. Les auteurs ont choisi l'exemple de la pièce de Buffon car cette situation vérifie la condition des grandes binomiales, ce qui permet d'utiliser les intervalles de fluctuation construits dans chacun des trois niveaux du lycée. Les risques sont alors calculés dans chaque cas, d'abord avec la loi binomiale (calculs exacts), puis avec l'approximation gaussienne (calculs approchés). En annexe de cet article, les auteurs développent, également pour le lancer de pièce, un cadre mathématique de modélisation statistique. La prise de décision suppose ce cadre formel qui, parce qu'il dépasse largement le niveau du lycée, est laissé implicite dans la démarche et les raisonnements utilisés. Cependant, il peut être intéressant de l'expliciter, au moins une fois, pour que l'enseignant intéressé puisse en avoir connaissance. A cet effet, les auteurs partent toujours de l'exemple de Buffon pour illustrer dans ce cas précis la mise en place des cadres statistique et probabiliste tels qu'ils sont abordés, souvent de façon très abstraite ou peu détaillée, dans les manuels universitaires de statistique inférentielle.