IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

Cet article s'appuie sur une analyse commentée de la "méthode" proposée dans l'antiquité par Diophante d'Alexandrie pour la résolution de nombreux problèmes arithmétiques, et qui s'apparente à la méthode algébrique moderne. L'enjeu principal est de montrer qu'on n'est pas obligé, dans la résolution de tels problèmes, de choisir entre les résoudre "par l'algèbre" et donc de couper tout lien avec le sens primitif du problème, ou bien renoncer au calcul algébrique pour garder le contact avec les particularités "intéressantes" de chaque problème. Il est donc possible de choisir un mode de résolution qui exploite une partie des vertus du calcul algébrique, tout en maintenant un lien vivant et significatif avec le "terreau" constitué par l'énoncé du problème. Le second objectif de l'article est de sensibiliser le lecteur à une approche de l'algèbre qui ne se fonde pas nécessairement sur les commodités d'une écriture symbolique. Le commentaire respecte donc la forme souvent qualifiée de "rhétorique" des formulations Diophantiennes et en tire les conséquences pour une approche pédagogique de l'algèbre passant bien davantage par des formules oralisées que par l'écriture.