IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

Au collège, certaines formules de calcul de périmètres, d'aires et de volumes sont facilement justifiables ; on pense par exemple à l'aire du parallélogramme ou bien au volume du pavé droit. D'autres par contre, sont données aux élèves sans être démontrées, ni même justifiées comme le volume d'un cône de révolution par exemple ou bien l'aire d'une sphère. Cet article propose donc une activité pédagogique sur le volume de la boule, capacité figurant au programme de troisième, à réaliser en classe. Il montre comment justifier aux élèves l'obtention de la formule qui permet de calculer le volume d'une boule. Ainsi, cette formule ne sera pas donnée aux élèves brutalement seulement pour être appliquée. Pour apporter aux élèves une explication, je me suis intéressé à l'histoire des mathématiques et je m'appuie notamment sur la méthode des indivisibles de Bonaventura Cavalieri. Par une méthode de calcul pré-infinitésimal, on égalera le volume d'une boule de rayon 4 cm avec celui d'un solide particulier dont on sait calculer le volume. A travers ce travail très riche, me semble-t-il, l'auteur s'est aussi rendu compte aussi qu'on travaille quasiment tout le chapitre de géométrie dans l'espace de troisième et notamment tout ce qui concerne les sections de solides inscrites au programme. Cela renforce considérablement la cohérence de ce thème. En outre, les liens entre le collège et le lycée, pour ceux qui suivront un cursus scientifique, sont à souligner dans ce travail.