IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

Ce problème d'inscription d'un carré dans un triangle, fréquemment rencontré depuis cinq siècles dans la littérature mathématique, a d'abord été posé sous la forme d'une question ouverte aux élèves d'une classe de seconde, sans grand succès, à part la mise en évidence d'une sorte de méthode de "fausse position". L'activité proposée comporte deux parties bien distinctes : - La première partie, prétexte à l'étude d'un texte ancien, consiste à examiner la solution d'Etienne Bézout. L'intérêt de la méthode utilisée par ce mathématicien du XVIIIe siècle, outre le fait qu'elle est très "lisible", réside dans l'analyse qui est faite de la situation avant de donner une construction utilisant les triangles semblables (contrairement à beaucoup d'autres qui fournissent directement leur solution, comme Al-Khwarizmi ou Marolois, étudiés par P. Guyot dans le n° 51 de la revue Repères). C'est aussi un bon exemple d'application de l'algèbre à la géométrie, en dehors du cas classique du calcul de coordonnées dans un repère. - La deuxième partie consiste à chercher une application à ce problème. En écrivant de différentes manières la formule établie par Bézout, on aboutit à plusieurs modes de construction (triangles semblables, mais aussi utilisation d'un triangle rectangle, voire utilisation de la courbe de la fonction inverse) et on reconnaît une grandeur utilisée depuis l'Antiquité : la moyenne harmonique. Il reste alors à écrire la formule d'une dernière façon pour reconnaître le même problème, posé mais résolu différemment par Euclide dans "Les Eléments".