IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

Cet article est extrait des Leçons de Mathématiques d'Aujourd'hui (Editions Cassini). Il a été rédigé par Robert Deville à partir d'une conférence donnée par Jean-Pierre Kahane à l'Université de Bordeaux 1 en février 1993. Dans l'infinie richesse du théorème de Pythagore, évoquée en introduction, l'article choisit ce qui se rattache à la preuve au moyen du tracé de la hauteur, qui décompose le triangle rectangle donné en deux triangles qui lui sont semblables. En itérant la construction, on obtient une courbe qui remplit le triangle et jouit de propriétés remarquables. C'est à la fois une introduction au problème du voyageur de commerce, à l'analyse multifractale et au mouvement brownien. La discussion qui suit l'exposé est l'occasion de développer le lien entre probabilités, analyse et géométrie. L'analyse multifractale est un sujet qui nous vient de la physique, et qui est mathématiquement très bien posé. La grande idée d'Einstein est que la clé du mouvement brownien est la comparaison entre la variation quadratique des déplacements et la variation du temps.