IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

L'algèbre, après avoir été au coeur de l'enseignement des mathématiques modernes, est aujourd'hui abordée de plus en plus tard, sinon occultée dans les programmes. Pourtant l'algèbre, bien au-delà d'une discipline particulière, est le fondement de l'enseignement des mathématiques, et peut-être même le modèle de la raison scientifique et de la rigueur de la pensée. Dans le but de rendre à l'algèbre une juste place dans l'éducation de l'esprit, et de fait dans l'enseignement, l'auteur argumente en ce sens, non pas d'un point de vue didactique, psychologique ou pratique, de telles études ne manquant pas, mais de manière plus théorique, s'intéressant aux caractéristiques et aux raisons d'être de l'algèbre dans l'enseignement avant de se pencher sur son enseignement effectif. Un bref retour sur la genèse de l'algèbre permet un constat épistémologique important concernant le parcours de la pensée vers l'abstraction et la nature particulière de l'algèbre, ce qui lui permet de dégager une vision de son enseignement plus proche de la démarche historique de l'algébrisation, qui n'est autre que le sens normal de tout travail en mathématiques, en sciences, et plus généralement de tout travail critique. Des premières conceptions abstraites de la notion de nombre jusqu'à l'éclosion de l'algèbre au sein du monde arabe médiéval, de l'avènement du calcul différentiel jusqu'aux formalisations de la logique au XXe siècle, passant par ce que l'on retient comme la révolution cartésienne, l'auteur souligne le mouvement lent et difficile, mais fructueux, de la pensée vers l'abstraction et la formalisation syntaxique. Le mouvement de la pensée s'est d'abord fait de manière rationnelle, allant des objets particuliers vers les formes algébriques générales avant d'aller dans l'autre sens, et de redescendre de manière logique d'une théorie générale aux situations particulières comme la présentent les enseignements actuels. Ce constat historique interpelle quant au cheminement particulier qu'est celui du scientifique lors de l'utilisation de l'algèbre et de l'avancée vers l'abstraction. C'est ce cheminement qu'il semble important de faire suivre aux élèves quel que soit leur niveau, car lui seul permet de comprendre non seulement la portée de l'algèbre, mais aussi et surtout sa raison d'être. Plus qu'une simple branche des mathématiques, l'algèbre apparaît alors comme une méthode de modélisation des problèmes qui n'a cessé de gagner du terrain à travers les siècles, pour aujourd'hui dominer très largement non seulement les mathématiques, mais toujours plus les autres sciences. C'est la raison pour laquelle l'on ne peut ni ne doit l'isoler comme une discipline à part, au risque de la dénaturer profondément et de la condamner à l'incompréhension. C'est cette démarche et ce point de vue qui semblent les mieux adaptés pour faire de l'enseignement de l'algèbre non seulement un enseignement plus efficace dans le seul cadre des mathématiques, mais également pour développer l'initiative et l'autonomie des élèves, leur culture scientifique et leur esprit critique, et c'est en ce sens que l'auteur abonde en formulant quelques idées pour renforcer et améliorer l'enseignement de l'algèbre et son impact pour chacun.