La projection stéréographique (ou inversion) de pôle P envoie toutes les figures tracée sur une sphère contenant P sur des figures d'un même plan. En étudiant à quelle figure plane correspond les sommets d'un icosaèdre, on peut donner, à rebours, une preuve de l'existence du polyèdre régulier à vingt faces. La possibilité de placer cinq par cinq des triangles équilatéraux identiques autour de 12 sommets repose donc sur une configuration plane très simple, l'étoile à cinq branches.
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