IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

L'histoire de l'infiniment petit dans l'activité mathématique avait connu un tournant avec la mise au point du calcul infinitésimal par Newton (1671) et Leibniz (1672). Un siècle et demi plus tard, avec Cauchy (1821), les mathématiciens ont renoncé à la simplicité - l'usage des infinitésimales -, au profit de la rigueur - c'est-à-dire de la cohérence avec les Eléments d'Euclide -. Encore un siècle et demi plus tard, Robinson (1963), avec l'Analyse non standard, redonnait droit de cité aux infinitésimaux sans contredire les Eléments - la polémique qui s'ouvrit alors se poursuit encore aujourd'hui. L'article comble une lacune dans cette histoire en présentant au lecteur les Manuscrits Mathématiques de Marx (rédigés entre 1863 et 1883). Loin d'écrire un traité de mathématiques, Marx "fait" des mathématiques en réfléchissant à la manière dont les mathématiques "se font", cherchant à éclaircir le mystère qui se cache derrière ces infinitésimales : existent elles sans exister vraiment ? Les Manuscrits mathématiques de Marx sont un matériau brut, utile à la réflexion de quiconque s'interroge sur la nature et les fondements de l'activité mathématique. La thèse présentée en fin d'article est double : d'une part, Marx poursuit la réflexion de Hegel dans la Science de la Logique (1812, puis 1831), d'autre part Hegel lui-même, dès 1812, pressent l'Analyse non standard qu'élaborera Robinson en 1963.