IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

Abu-Kamil (~850, ~930) est un maillon important de la chaîne de développement et de diffusion de l'algèbre. Il est à la fois fidèle à son prédécesseur Al-Khwarizmi, le fondateur de l'algèbre, au début du IXe siècle, et influent sur ses propres successeurs, principalement Al-Karaji (~953, ~1029), puis As-Samaw'al (~1130, ~1180) et aussi Fibonacci (~1170, ~1240). Ce dernier aurait eu un accès direct à l'oeuvre d'Abu-Kamil et y aurait trouvé le point de départ d'une partie importante de ses travaux personnels. La première partie de l'étude est consacrée à l'exposé des règles décrites par Abu-Kamil pour la résolution des équations de degré inférieur ou égal à deux, à coefficients tous positifs, dont on n'envisage pas, à l'époque, qu'elles aient des racines autres que positives. Abu-Kamil donne pour les trois équations quadratiques complètes, outre les algorithmes de calcul des racines que l'on trouve déjà chez Al-Khwarizmi, des règles d'obtention directe des carrés des racines. Il démontre géométriquement les deux procédures numériques, en faisant explicitement référence aux propositions du livre II des Eléments d'Euclide. Les démonstrations de la règle du carré ouvrent la question intéressante de l'homogénéité des grandeurs. Dans une deuxième partie volontairement rapide, on signale le soin avec lequel Abu-Kamil explicite et valide les règles de multiplication des monômes et des binômes, sommes ou différences, comportant des indéterminées. On note la précision avec laquelle il énonce et justifie les règles opératoires sur les nombres irrationnels. Ce souci théorique de recenser et de fonder les règles de l'algèbre grâce aux règles de l'arithmétique est important en soi et aussi parce qu'il fournit l'outil pour ramener la résolution d'équations de degrés élevés ou de systèmes comportant plusieurs inconnues à la résolution d'équations quadratiques. La troisième partie contient l'examen de quelques problèmes choisis parmi les soixante-neuf du traité d'Abu-Kamil pour la beauté technique de leur résolution, pour la diversité des méthodes auxquelles ils donnent lieu, ou pour l'intérêt des justifications géométriques qui accompagnent leur résolution numérique. La cohérence des démarches numérique et géométrique est voulue par Abu-Kamil. Il offre là un bel exemple d'algèbre géométrique, au sens propre, et sans anachronisme, puisque son traité se situe après celui d'Al-Khwarizmi qui date la naissance de l'algèbre. En effet, les objets et les concepts nouveaux ont été définis, les résolutions algorithmiques sont au point, les problèmes font l'objet de mises en équation, les règles de calcul sur les quantités composées ont été reconnues, grâce à quoi les équations sont réductibles à des formes canoniques. Mais ce sont aussi les méthodes de l'algèbre qui s'élaborent autant que ses algorithmes de calcul, et les démonstrations algébriques d'Abu-Kamil sont fondues dans le moule éprouvé de la géométrie. La rigueur et les avancées théoriques d'Abu-Kamil sont donc déterminantes pour l'élaboration de l'algèbre, au moment où elle émerge des disciplines antérieurement établies que sont l'arithmétique et la géométrie.