IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

A partir du constat que, sur un ordinateur, certaines droites passant par A restent confondues avec la courbe "plus longtemps" que la tangente en A, on explique le phénomène en comparant différentes approximations possibles d'une droite par une droite au voisinage d'un point et on recherche en quel sens la tangente est une meilleure approximation. Ainsi après avoir dessiné la courbe, le principe choisi consiste à faire tracer par l'ordinateur quelques droites passant par le point A dont la tangente, et à faire afficher par l'ordinateur la différence des ordonnées entre M et D, points de même abscisse x situés respectivement sur la parabole y=x2-x et sur la droite passant par A considérée. L'idée étant que cette différence reste "nulle" sur un petit intervalle quand D se déplace sur la tangente. Dans un premier temps, on fait varier le coefficient directeur m de la droite entre 1/2 et 3/2 avec un pas de 1/10 et l'abscisse x de M et D avec un pas de 1/100 puis de 1/1000. Avec la précision affichée, la différence entre les coordonnées de M et D reste "nulle" sur un intervalle autour de x=1 pour les autres droites aussi, mais l'intervalle concernant la tangente est bien plus grand que pour les autres droites. En voulant affiner l'étude et faire varier m entre 9/10 et 11/10 avec un pas de 1/100, rien ne va plus ! La courbe reste confondue avec certaines sécantes plus longtemps qu'avec la tangente. Ce phénomène montre bien l'importance de distinguer clairement le comportement local et global des fonctions. La tangente est vraiment une notion locale. Il s'agit de la meilleure approximation affine de la courbe au voisinage d'un point, à condition de ne fixer à l'avance ni la longueur de l'intervalle contenant le point, ni l'erreur admise dans l'approximation.