IREMInstitut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de Grenoble

De très nombreux raisonnements par l'absurde sont des raisonnements directs présentés à l'envers. D'autres sont des raisonnements directs à peine déguisés, qu'il est facile de transcrire sous forme directe. D'autres preuves, dites par l'absurde, ne sont que des preuves de l'absurde : comment démontrer qu'une hypothèse est toujours fausse sinon en la réduisant à l'absurde ? Enfin il est des cas où, apparemment on ne sait pas établir un fait de nature positive autrement qu'en le réduisant à l'absurde hypothèse selon laquelle le fait en question serait faux. Ce sont là les vrais raisonnements par l'absurde. C'est souvent selon cette méthode qu'ont été établis, au moins dans un premier temps, les "théorèmes d'existence" modernes depuis Cantor et Hilbert. Pour établir une claire distinction entre le raisonnement direct et le raisonnement par l'absurde, il est nécessaire de prendre conscience qu'au moins intuitivement certains fais mathématiques peuvent être qualifiés de "type positif" et d'autres de "type négatif". C'est sur la base de cette intuition que l'on qualifie tel raisonnement de "raisonnement par l'absurde" et tel autre de "raisonnement direct". Pour rendre compte de cette intuition, la logique classique n'est en tout cas d'aucun secours. C'est sans doute la raison pour laquelle la grande majorité des mathématicien(ne)s, imprégné(e)s de logique classique, ont déserté le terrain de la discussion philosophique sur la nature du raisonnement par l'absurde.